Samling 9. april.Repetisjon

Njål Foldnes

Beskrivende statistikk

Envariabelstatistikk vha nøkkeltall

Kontinuerlige variable

  • Sentraltendens:Gjennomsnitt eller median

  • Spredning: Standardavvik eller interkvartilbredde

Kategoriske variabler:

  • Frekvenstabell

Envariabelstatistikk vha nøkkeltall, R

Kontinuerlig:

library(psych); data(bfi)
bfi <- bfi[complete.cases(bfi), ]#remove missing row-wise
mean(bfi$age); median(bfi$age)
[1] 29.51029
[1] 26
sd(bfi$age); IQR(bfi$age)
[1] 10.66422
[1] 15

Kategorisk:

table(bfi$gender)

   1    2 
 735 1501

Standardavvik-regel

I en normalfordeling så er 95% av observasjonene mindre enn to standardavvik unna gjennomsnittet. “Uvanlig”: mer enn 2 standardavvik vekk fra snittet.

library(tidyverse)
ggplot(data = data.frame(x = c(-3, 3)), aes(x)) +
  stat_function(fun = dnorm, n = 101, args = list(mean = 0, sd = 1)) + ylab("") +
  scale_y_continuous(breaks = NULL)+ggtitle("Standard normalfordeling N(0,1)")

Envariabelstatistikk: Grafer

For kontinuerlige variabler: histogram eller boksplott

hist(bfi$age)

boksplott for å sammenlikne grupper

boxplot(bfi$age~bfi$gender)

Envariabelstatistikk: Stolpediagram for kategorisk variabel

qplot(factor(bfi$education))+geom_bar()

Tovariabelstatistikk: korrelasjon

#the older the more agreeable
sumA <- 7-bfi$A1+bfi$A2+bfi$A3+bfi$A4+bfi$A5
cor(sumA,bfi$age)
[1] 0.144486
qplot(bfi$age, sumA)+geom_smooth(method="lm")

Tovariabelstatistikk: Enkel regresjon

lm(sumA~bfi$age) %>% summary()

Call:
lm(formula = sumA ~ bfi$age)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-18.6427  -2.7269   0.7187   3.2006   7.6825 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 21.654892   0.273855  79.074  < 2e-16 ***
bfi$age      0.060236   0.008728   6.902 6.68e-12 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.4 on 2234 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.02088,   Adjusted R-squared:  0.02044 
F-statistic: 47.63 on 1 and 2234 DF,  p-value: 6.675e-12

For hvert år alder øker så forventes en økning i sumA på 0.06

Inferense

Envariabelstatistikk: Inferens om gjennomsnitt

Teste om menn og kvinner har samme alder i populasjonen \(H_0: \mu_M=\mu_K\) vs \(H_A: \mu_M \neq \mu_K\). Da brukes en \(t\)-test.

t.test(bfi$age~bfi$gender)

    Welch Two Sample t-test

data:  bfi$age by bfi$gender
t = -2.2367, df = 1481.8, p-value = 0.02546
alternative hypothesis: true difference in means between group 1 and group 2 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -2.0012630 -0.1311404
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2 
       28.79456        29.86076

Vi har støtte for å hevde at det er forskjellig snittalder menn vs kvinner (når signifikansnivået \(\alpha=.05\))

Type I og II feil i hypotesetesting

Type I feil: Å forkaste nullhypotesen når den er sann. Dette skjer 1 av 20 ganger i det lange løp, når signifikansnivået er 5%.

Type II feil: Å ikke forkaste nullhypotesen når den er usann. Vi kan minske sjansen for dette ved å ha et stort utvalg.

Testens styrke: Sjansen for at man ikke begår Type II feil når \(H_0\) er usann. Styrken øker når utvalgsstørrelsen øker.

Konfidensintervall

For gjennomsnitt så kan vi beregne et 95% konfidensintervall. Vi er 95% sikre på at populasjonsverdin ligger i intervallet

t.test(bfi$age)

    One Sample t-test

data:  bfi$age
t = 130.85, df = 2235, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 29.06803 29.95255
sample estimates:
mean of x 
 29.51029

Konfidensintervall for alder er (29.07, 29.95).

Enkel Regresjon

Enkel regresjon predikerer verdien på en avhengig variabel y som en lineær funksjon av en uavhengig variabel x.

lm(sumA~bfi$age) %>% summary()

Call:
lm(formula = sumA ~ bfi$age)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-18.6427  -2.7269   0.7187   3.2006   7.6825 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 21.654892   0.273855  79.074  < 2e-16 ***
bfi$age      0.060236   0.008728   6.902 6.68e-12 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.4 on 2234 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.02088,   Adjusted R-squared:  0.02044 
F-statistic: 47.63 on 1 and 2234 DF,  p-value: 6.675e-12

Ja, alder er signifikant, men effekten er nesten uten praktisk verdi. \(R^2=.02\) er den forklarte variansen. Så 2% av variasjon i agreeableness kan forklares av alder.

Multippel Regresjon

Fremdeles en avhengig variabel Y. Men nå har vi flere uavhengige/prediktorer \(X_1, \ldots, X_k\).

Ceteris paribus: Alt annet likt. Dvs vi får effekt av hver X, kontrollert for at de andre X’ene ikke forandrer seg.

Dummykoding: Kategoriske variable kan kodes med dummyer som er 0/1. Hver dummy gir kontrast til referansekategorien.

Effekt av Neuroticism on Agreeableness, controlled for gender and age

sumN <- bfi$N1+bfi$N2+bfi$N3+bfi$N4+bfi$N5
lm(sumA~sumN+bfi$age+bfi$gender) %>% summary()

Call:
lm(formula = sumA ~ sumN + bfi$age + bfi$gender)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-18.0320  -2.4125   0.5453   3.0154   9.3515 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 20.447369   0.461709  44.286  < 2e-16 ***
sumN        -0.141978   0.015098  -9.404  < 2e-16 ***
bfi$age      0.047090   0.008414   5.596 2.46e-08 ***
bfi$gender   2.290064   0.191216  11.976  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.211 on 2232 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1041,    Adjusted R-squared:  0.1029 
F-statistic: 86.48 on 3 and 2232 DF,  p-value: < 2.2e-16

En økning i neuroticism sumskår på 1 poeng er forventet å minske sumskår A med .14. Modellen forklarer 10.3% av variasjonen in A.

Forutsetninger for regresjon

  • Homoskedastiske feil-ledd. Sjekkes ved å plotte residualene og se at de har lik varians uavhengig av den tilpassete y verdi

  • Linearitet. Sjekkes med plott

  • Hvis \(n\) er lav: Normalfordelte feil-ledd. Sjekkes i QQ plot

  • Vi bruker performance::check_model() og sjekker visuelt

ANOVA

Hvis vi har mange grupper kan vi sjekk om gjennomsnittene er like i alle gruppen. Enten bruke aov() funksjonen eller bare multippel regresjon og \(F\) statistikken. \(H_0\): snittet er likt i alle grupper, \(H_A\) snittet er ulikt i noen grupper.

Er agreeableness den samme i alle utdanningsnivå?

bfi$education <- factor(bfi$education)# si ifra at dette er grupper og ikke intervallskala
aov(sumA~factor(bfi$education)) %>% summary()
                        Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
factor(bfi$education)    4    478  119.50   6.101 7.01e-05 ***
Residuals             2231  43699   19.59                     
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

p-verdi < .05 så vi forkaster \(H_0\)! Det er ikke samme Agreeableness i all utdanningsnivå

ANOVA med multippel regresjon

lm(sumA~bfi$education) %>% summary()

Call:
lm(formula = sumA ~ bfi$education)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-18.7978  -2.7880   0.3269   3.2120   7.4141 

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     22.5859     0.3145  71.810  < 2e-16 ***
bfi$education2   0.2021     0.4210   0.480 0.631202    
bfi$education3   1.2119     0.3422   3.542 0.000406 ***
bfi$education4   0.4055     0.3944   1.028 0.304002    
bfi$education5   1.0872     0.3908   2.782 0.005449 ** 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.426 on 2231 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.01082,   Adjusted R-squared:  0.009047 
F-statistic: 6.101 on 4 and 2231 DF,  p-value: 7.009e-05

F-statistikken har samme p-verdi! I tillegg får vi effektene vs referansekategorien 1.

Logistisk regresjon

Når den avhengige variabelen er 0/1 så predikerer vi verdien til log-odds for \(P(Y=1)=p\): \[ log(\frac{p}{p-1})=a+b_1 X_1+ b_2X_2+\epsilon\] Kan agreeableness forutsi kjønn (når vi kontrollerer for alder) ?

female <- ifelse(bfi$gender ==2, 1, 0)
glm(female ~ sumA+bfi$age, family="binomial") %>% coefficients()
(Intercept)        sumA     bfi$age 
-1.84708532  0.10653968  0.00331439

Ja, jo høyere A, jo større er sjansen for at det er en dame.

Psykologiske konstrukter

Skalaens reliabilitet

Hvor stabile er målingene til skalaen? Hvis vi gjør spørreundersøkelsen på ny, hva er korrelasjon mellom gammel og ny score?

Dette tallet kalles reliabilitet og måles oftest ved Cronbach’s alpha. Bør være minst 0.7-0.8

psych::alpha(select(bfi, paste0("A", 1:5)), check.keys=T) %>% summary()

Reliability analysis   
 raw_alpha std.alpha G6(smc) average_r S/N    ase mean   sd median_r
      0.71      0.71    0.68      0.33 2.5 0.0099  4.7 0.89     0.34

Skalaens validitet

Dette er en kjerneegenskap. Valide instrument måler det de er ment å måle, og målingene brukes på en måte som gjenspeiler dette.

Et veldig stort og filosofisk felt. Det finnes flere typer validitet og etablering av validitet er en prosess med mange refleksjoner. Her er en nyttig link

Latente variable

En latent variabel er ikke observerbar, men vi kan måle den indirekte vha indikatorer= items i spørreskjema. Et sett av items som måler en faktor må skilles fra andre items som måler andre faktorer. Det får vi til med EFA.

EFA:

  • finne antall faktorer i instrument/skala (parallel analyse)
  • finne ut hvilke items som hører sammen i grupper som reflekterer hver sin faktor (fa() funksjonen i psych)

CFA: Da vet vi indikatorene og vi bruker lavaan til å beregne faktorladninger og regresjoner mellom latente variabler.

hjem